三角测量(Trigonometric Measurement

浏览次数:780发布时间:2020-06-14 12:45:21文章分类: H普生活

三角测量法是指在平面上选定三个不共线的点,连成一个三角形,由已知的点观察各方向的夹角,再测量各边边长,其中可以分为平面三角形和空间三角形测量法。其量测方式可利用正弦定理和余弦定理求解一般三角形,和运用正切函数求解直角三角形。

正弦定理公式:\(a/\sin{A}=b/\sin{B}=c/\sin{C}\),即「大边对大角,小边对小角」的具体数量化,其中 \(A\)、\(B\)、\(C\) 分别代表边 \(a\)、\(b\)、\(c\) 所对应的三角形的顶角;
余弦定理公式:\(c^2=a^2+b^2-ab\cos{C}\),主要应用在各种地形、工程测量中;正切函数则是利用邻边与对边的比例关係解题。

关于测量技术的进展,最重要当是「三角测量法」(triangulation),号为「数学王子」之称的高斯(Carl Friedrich Gauss,1777-1855)也曾对汉诺威王国进行三角测量,其中的原理是由已知的两点 \(A\) 和 \(B\),并且能从点 \(A\) 和点 \(B\) 目视到点 \(C\),根据量测工具可以确认 \(\angle{CAB}\) 和 \(\angle{CBA}\) 的值,同时容易测出 \(\overline{AB}\) 长,根据正弦定理结果 \(\displaystyle\frac{a}{\sin{A}}=\frac{b}{\sin{B}}=\frac{c}{\sin{C}}\),不难算出 \(b=\overline{AC}\) 和 \(a=\overline{BC}\) 的长,这种方法常用于军事测量,称为「交叉法」。

实际上的应用如图一所示,例如:今欲测量德国地图上的 Wangeroog 城市与 Varel 城市的距离与方位?如果望远镜的最大测据值为 \(12\) 公里,今 Wangeroog 城市与 Varel 城市的距离大于 \(12\) 公里,先利用三角测量法与正弦定理,得 Jever 城市在 Wangeroog 城市南 \(10^\circ\) 东 \(10\) 公里处,再测得 Varel 城市在 Jever 城市东 \(20^\circ\) 南 \(10\) 公里处,利用余弦定理得 Wangeroog 城市与 Varel 城市的距离为 \(\sqrt{10^2+10^2-2\times{10}\times{10}\times{\cos120^\circ}}=\sqrt[10]{3}\) 公里,所以,确认 Varel 城市在 Wangeroog 城市南 \(40^\circ\) 东 \(\sqrt[10]{3}\) 公里处。

三角测量(Trigonometric Measurement

图片来源: http://blog.roodo.com/absolutereading/archives/2007-03.html。

关于三角测量图形,还可以参考日本十九世纪时明治维新时期的《测量集成》,此书属于私塾用书,而且书中有很多珍贵的测量图形,如下图二、三、四、五所示,可见三角测量法对于日本数学教育养成的重要性。2

注:2 福田理轩(大矢真一解说),《测量集成》(东京:恆和出版社,1982),页153-167。

三角测量(Trigonometric Measurement

三角测量(Trigonometric Measurement

三角测量(Trigonometric Measurement三角测量(Trigonometric Measurement

三角测量是三角函数的实际应用之一,由图一与图五所示,不论平面上两点的距离如何遥远,只要善加引入辅助点,即可将图形分割成许多的小三角形,再利用正弦定理与余弦定理,那幺测量遥远两点的距离边可以迎刃而解了。

参考资料: