三角测量及其相关历史(trigonometric measu

浏览次数:852发布时间:2020-06-14 12:45:17文章分类: U生活画

一般而言,处理三角测量的问题 (对现行教材而言 ),是先将题目读懂,转化为数学,然后再透过解三角形的方式求得答案。不过学生遇到的,常是在设计好测量方式情境下,所处理的问题。其实,若在讲解时可以从测量问题的原始状况出发会别有一番风趣。在众多版本中,康熙这部分的写法最符合个原则值得参考。 在底下将一些想法整理如下,供大家参考讨论。

测量物体的高度、长度、宽度或深度,在很多问题中会被自然的提出,如土地测量、航海、天文观测及地图绘製等等。它最原始的问题应该是:我们如何用已知的知识去帮助我们知道待求物体的高度等等。

西方最早的记载是泰利斯(Thales)利用相似三角形来测得金子塔的高度,传说他还曾经给出一种应用「边角边」的定理来计算船离河岸距离的方法,Katz在其《数学史通论》中有提出两种猜想的方式,其实还蛮适合作为三角测量的开场。1

原因之一当然是他回归到了测量问题本身,另一是他并不是使用三角函数作为处理问题的工具。我们老师教学的结果,若是让学生以为只有「三角」测量,那就头痛了。当然,不用三角函数作测量的经典,当推中国发展出来的测量方式:「勾股」测量,若有时间,很可以作为三角测量的一个补充,至少也可以介绍一些资料给学生阅读。2

三角测量及其相关历史(trigonometric measu

另一个很好的例子,是西元前540年,希腊工程师尤帕林纳斯(Eupalinos)奉命在萨摩的卡斯楚山两侧的城镇开凿引水隧道,以解决居民饮水问题。3 此处,我们当然是简化、改编了他原始的问题,提出底下的情境:

尤帕林纳斯为了尽快的解决用水问题,他将工人分组成两个团队,从山的两边同时开挖,请问要如何给予两组工人指示,才能合作的完成这项工程。(请注意,若放任两组工人任意挖掘,导致水平方向或铅直方向产生误差,所挖的隧道就无法接起来,另一个问题是,隧道的总长当然是越短越好。)

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每个人的策略可能不尽相同,不过这种开放性的问题,也许才能抓住测量的本质。当然,课纲的重点是在利用三角函数来解决测量问题,不过想让学生能对这个方法产生感觉,知道它的优越性,前面的这个步骤可能还是无法省略。

在我们把焦点放在三角测量之前,再花几句话谈一谈它重要的工具:正弦定理与余弦定理。第一,并不是只有这两个工具可以帮助我们做三角测量,例如,早期的课本也有提正切定理,但是,它们是最好用的两个。第二,基本上,正弦定理与余弦定理是等价的定理,也就是说,它们可以互相推导。4 不过这两种「形式」,在我们解三角形时,互补的很好。第三,这两个定理,在希腊时代就已经被使用了,由天文学所提出的测量问题,在托勒密的《大成》(Almagest)中,至少已经等价的使用了余弦与正弦定理。5 它们之所以在解三角形时有用,也就是因为它们是透过实际问题所提出的解决「方案」。这两个定理,与三角函数的一些基本概念,架构了高中的三角测量。

三角测量及其相关历史(trigonometric measu

我们现在切入三角测量。我们若想测量一栋建筑物的高度,最简单的方式当然是从 \(A\) 点向前走距离 \(a\) 至底部 \(B\) 点,再测其对顶部 \(C\) 点的仰角 \(\theta\),由此可以得到 \(h=(\tan\theta)a\)。

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不过,我们常常无法如愿的到达底部 \(B\) 点,所以,替代的方案是从 \(A\) 点向前走距离 \(a\) 至恰当的 \(D\) 点,不过,此时要多量一个角度,最简单的是在 \(D\) 处量对顶部 \(C\) 点的仰角 \(\varphi\),

因为 \(\overline{AB}=h\cot\theta\),\(\overline{DB}=h\cot\varphi\),
所以 \(\displaystyle h\cot\theta=a+h\cot\varphi\Longleftrightarrow{h}=\frac{a}{\cot\theta-\cot\varphi}\)

这个方式是三角测量常用的基本式子,很方便!

三角测量及其相关历史(trigonometric measu

不过有时无法直接面对着 \(B\) 点直接走一段距离,譬如说这个方向的距离不够长时,我们可以把平面图扩展成立体图,即走的并不是 \(\overleftrightarrow{AB}\) 的方向,如图。此时因为资讯又不够了,所以,可再量一个角度。例如我们量得 \(\angle{BAD}=\alpha\),因为 \(\overline{AB}=h\cot{\theta}\),\(\overline{DB}=h\cot{\varphi}\),透过余弦定理,我们可以列一个等式求解 \(h\)。

\((h\cot\varphi)^2=(h\cot\theta)^2+a^2-2(a)(h\cot\theta)\cos\alpha\)

又或者量得 \(\angle CAD=\beta\),因为 \(\overline{AB}=h\csc\theta\),\(\overline{DB}=h\csc\varphi\),
我们可以得下列等式来求解 \(h\)。

\((h\csc\varphi)^2=(h\csc\theta)^2+a^2-2(a)(h\csc\theta)\cos\beta\)

三角测量及其相关历史(trigonometric measu

我们也可以从 \(D\) 再走一段距离 \(b\) 至 \(E\) 点,并测得其仰角为 \(\alpha\),不过这样还需要一个角,譬如我们量得 \(\angle{BAE}=\beta\),因为 \(\overline{AB}=h\csc\theta\),\(\overline{DB}=h\csc\varphi\),\(\overline{EB}=h\csc\alpha\),亦可列得一等式求 \(h\)。

\(\displaystyle\frac{(a)^2+(h\cot\theta)^2-(h\cot\varphi)^2}{2(a)(h\cot\theta)}=\frac{(a+b)^2+(h\cot\theta)^2-(h\cot\alpha)^2}{2(a+b)(h\cot\theta)}\)

前面这几个图在教材中均是常见,上面的建议只是提供一个流程来将它们一网打尽,而不是看成一个个单独的例题。当然在真的测量时,还有很多问题待解决,例如角度的测量、(一般可能需要考虑到)测量者的高度或当地面不平坦时。有时量高转成量宽时,也会有些许的差别,这都是不实际考虑就得不到的经验。

在实际做角度的测量时,学生的误差有时会很大,这当然跟他们的态度有关,不过有时也是因为他们所使用的工具。一般的建议,是透过量角器来做成一个简单的工具,其方法为在中心处挖一个小孔并繫上一细绳,在绳子的另一端繫上一个重物。

测量时,将量角器 \(0^\circ\) 这一端靠近眼睛,另一端对準目标物观测点。俯视目标物时,若细绳所示的角度为 \(\theta\),俯角为 \((\theta-90^\circ)\),仰视物体时,若细绳所示的角度为 \(\theta\),可知仰角为 \((90^\circ-\theta)\)。

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做评量时,建议也出一两题开放性的问题,下面是一个例子:

在篱笆的内侧有一待测量的物体 \(AB\),欲量其长度,但又不能进入篱笆内。试设计一种测量方式,使可以量得 \(\overline{AB}\),并写出你的计算公式。如果可以,设计工作单,让学生去测量学校内特别的建筑或事物,也是相当精采的。

三角测量当然不仅于此,以前我自己在学习时,看到大地测量或地图製作时三角化的图7,就非常高兴了,每次思及至此,都深深的觉得自己的不足,也深深感受:觉得数学没有用,是因为我们懂得不多!共勉之!

注:

参考文献: